Арифметические действия у древних римлян

В древние времена человек, хорошо усвоивший первые четыре арифметических действия с целыми числами, считался весьма ученым, чуть ли не «профессором математики». Обычно люди среднего круга могли только складывать и вычитать, да и то небольшие числа.

Откроем дверцу в далекое прошлое и посмотрим, как производилось письменное деление и умножение в Древнем Риме, с помощью римских цифр.

Напомню римские цифры, некоторые из них встречаются редко.

I — единица, V — пять, X — десять, L — пятьдесят, С — сто, D — пятьсот, М — тысяча.

Не принято было ставить четыре одинаковые цифры подряд; в этом случае цифра низшего порядка ставилась перед цифрой высшего порядка и отнималась от нее.

Числа выглядят так:

IIII=IV — четыре; VIIII=IX — девять; ХХХХ=XL — сорок; VXXXX=ХС — девяносто и т. д.

Этого разъяснения будет достаточно, чтобы следить за ходом дальнейших вычислений.

Пусть требуется умножить 126 на 37 (знаки действий будем употреблять современные; у римлян их не было, названия действий писались словами).

СXXVI·XXXVII=?

Приходится умножать множимое на каждую цифру множителя отдельно, а затем сложить все произведения. Цифры одинакового порядка для удобства ставим одну под другой.

Вероятно, римляне применяли при вычислениях те или иные упрощения. Вряд ли они писали подряд большое число одинаковых знаков, скорее всего они складывали их в уме; автор писал их для наглядности, чтобы читателю были ясны все детали вычисления. Но упрощения мало меняли сущность дела: вычисление все же оставалось очень сложным.

Суммировать низшие единицы и превращать их в высшие практичнее, начиная с левой руки направо, то есть с высших цифр.

А если бы мы попробовали умножить при помощи римских цифр 84573·4768? Сколько листов бумаги пришлось бы исписать, какова вероятность наделать при этом ошибок и описок…

Можно допустить, что у римских математиков существовали таблицы умножения наподобие тех, что издаются у нас. Ведь каждое правильно произведенное умножение представляло большую ценность. Но почему-то такие таблицы до нас не дошли.

Еще выразительнее получится картина, если мы станем производить деление. Вот пример.

MCLXХVI: XXVIII=?

(1176: 28=?)

Так как здесь нельзя по высшим цифрам делимого и делителя определить высшую цифру частного, то приходится производить деление методом «исчерпывания». Чтобы определить первую цифру частного, умножим делитель на 100.

XXVIII·С=ММ…

Сразу видим, что произведение превышает делимое; значит, в частном сотен нет. Начинаем умножать на 10, 20 и т. д., пока произведение не превысит делимого; тогда последний десяток в частном будет лишний.

XXVIII·X=CCLXXX

XXVIII·XX=СССС L L ХХХХХ'Х=D L X.

(Здесь мы для простоты удваиваем каждую цифру предыдущего результата.)

(Удваиваем второй результат!)

XXVIII·L=MCCCL ХХХХХ=MCD

(Прибавляем к четвертому результату первый.)

Последнее произведение превышает делимое, значит, в частном четыре десятка. Отнимаем от делимого делитель, умноженный на XL.

Остаток снова делим на делитель таким же порядком.

XXVIII·I=XXVIII

XXVIII·II=XXXXVVIIIIII=LVI.

Итак, в частном четыре десятка и две единицы. MCLXXVI: XXVIII=XLII.

Наше вычисление в обычной десятичной системе:

По правде говоря, автора невольно бросает в дрожь, когда он смотрит на множество цифр, выстроившихся, подобно солдатам, в ряды, и все лишь для того, чтобы участвовать в решении такого, по существу, пустякового примера. И думается автору, что такого рода примеры древние римляне решали скорее всего в уме, а может быть, на помощь им приходил абак — прибор, напоминающий русские счеты.

Преклонимся же перед трудолюбием и настойчивостью наших далеких предков, которые шли к знанию тернистым путем и, преодолевая препятствия, создали стройную и ясную логическую науку, называемую современной математикой.